Question

29、如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，高AA₁=20cm，底面A₁B₁C₁D₁是長方形，其長A₁B₁=10cm，寬A₁D₁=7cm，點E在B₁C₁上，且距B₁點5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體表面從點A爬到點E，需要爬行的最短路程是多少？

Answer 1

分析：首先將長方體沿B₁C₁、C₁C、CB剪開，向右翻折，使面ABB₁A₁和面BCC₁B₁在同一個平面內，連接AE或將長方體沿B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁剪開，向上翻折，使面ABB₁A₁和面A_lB_lC₁D₁在同一個平面內，連接AE．然后分別在Rt△AA₁E中與Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE的長，比較即可求得需要爬行的最短路程．

解答：解：將長方體沿B₁C₁、C₁C、CB剪開，向右翻折，使面ABB₁A₁和面BCC₁B₁在同一個平面內，連接AE．（如圖1）
在Rt△AA₁E中，AA₁=20，A_lE=10+5=15．
由勾股定理，得AE²=AA₁²+A₁E²=20²+15²=625．
則AE=25．
將長方體沿B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁剪開，向上翻折，使面ABB₁A₁和面A_lB_lC₁D₁在同一個平面內，連接AE．（如圖2）
在Rt△ABE中，AB=10，BE=20+5=25．
由勾股定理，得AE²=AB²+BE²=10²+25²=725．（8分）
∵625＜725，
∴螞蟻需要爬行的最短路程是25cm．

點評：此題考查了最短路徑問題．解題的關鍵是將立體圖形展為平面圖形，利用勾股定理的知識求解．