Question

【題目】在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4厘米，點P從B出發，以1厘米/秒的速度沿邊BO運動，設點P運動時間為x（x＞0）秒．△APC是以AP為斜邊的等腰直角三角形，且C，O兩點在直線AB的同側，連接OC．

（1）當x=1時，求的值；

（2）當x=2時，求tan∠CAO的值；

（3）設△POC的面積為y，求y與x的函數解析式，并寫出定義域．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（0<x<4）

【解析】試題分析:(1)根據x=1求出BP,OP根據勾股定理求出AP,根據余弦的定義求出AC,就算即可,(2) 作,交AB于H,垂足為H,因為△AOB, △ACP都是等腰三角形,

所以∠BAO=∠PAC=∠B=∠APC=45°,所以∠BAP=∠OAC, 當x=2時,BP=2,

在Rt△BPH中,∠B=45°,BP=2所以 ,因為Rt△ABO中,AO=BO=4,

所以,所以,所以tan∠CAO=tan∠BAP=,(3)根據題目可分三種情況, ①,②t=4③t>4,根據等腰直角三角形的性質和正弦的定義以及三角形的面積公式計算即可.

解：（1）當x=1時,OP=3,OA=4,

在Rt△AOP中,AP=5,

∵△ACP為等腰三角形,

∴AC=APcos45°=,

∴,

（2）作,交AB于H,垂足為H,

∵△AOB,△ACP都是等腰三角形,

∴∠BAO=∠PAC=∠B=∠APC=45°,

∴∠BAP=∠OAC,

當x=2時,BP=2,

在Rt△BPH中,∠B=45°,BP=2,

∴ ,

∵Rt△ABO中,AO=BO=4,

∴,

∴ ,

∴tan∠CAO=tan∠BAP= ,

（3）∵∠BAO=∠PAC=∠B=∠APC =45°,

∴△BAO∽△PAC,

∴∴,

∵∠BAP=∠OAC,

∴△APB∽△ACO,

∴∠B=∠AOC=45°,

,

∴,

作CM⊥BO,垂足為M,

則CM=OCsin45°= ,

∴（0<x<4）.