Question

如圖，⊙O的弦AD∥BC,過點D的切線交BC的延長線于點E，AC∥DE交BD于點H，DO及延長線分別交AC、BC于點G、F.

(1)求證：DF垂直平分AC；

（2）求證：FC＝CE；

（3）若弦AD＝5，AC＝8，求⊙O的半徑.

Answer 1

證明：（1）∵DE是⊙O的切線，且DF過圓心O

∴DF⊥DE

又∵AC∥DE

∴DF⊥AC

∴DF垂直平分AC

（2）由（1）知：AG=GC

又∵AD∥BC

∴∠DAG=∠FCG

又∵∠AGD=∠CGF

∴△AGD≌△CGF（ASA）

∴AD=FC

∵AD∥BC且AC∥DE

∴四邊形ACED是平行四邊形

∴AD=CE

∴FC=CE

（3）連結AO； ∵AG=GC，AC=8cm，∴AG=4cm

在Rt△AGD中，由勾股定理得 GD=AD2-AG2=52-42=3cm

設圓的半徑為r，則AO=r，OG=r-3

在Rt△AOG中，由勾股定理得 AO2=OG2+AG

有：r2=(r-3)2+42解得 r=256

∴⊙O的半徑為256cm.