Question

若m為自然數，且4<m<40，且方程x²－2(2m－3)x＋4m²－14m＋8＝0的兩根均為整數，求m的值．

 

Answer 1

【答案】

m＝12和m＝24

【解析】

試題分析：方程有整數根，則根的判別式就為完全平方數，所以就是求使△為完全平方數的m的值，求得后再代入方程檢驗即可．

∵a=1，b=-2（2m-3），c=4m²-14m+8，

∴△=b²-4ac=4（2m-3）²-4（4m²-14m+8）=4（2m+1）．

∵方程有兩個整數根，

∴△=4（2m+1）是一個完全平方數，

所以2m+1也是一個完全平方數．

∵4＜m＜40，

∴9＜2m+1＜81，

∴2m+1=16，25，36，49或64，

∵m為整數，

∴m=12或24．

代入已知方程，

得x=16，26或x=38，52．

綜上所述m為12，或24．

考點：根的判別式，解一元二次方程

點評：一元二次方程有整數根，必須滿足根的判別式△=b²-4ac非負或為完全平方數，可根據這兩個條件來限定待定系數的取值范圍，從而找出解題的思路．