Question

一種外形為圓柱體的易拉罐飲料，它的底面直徑為6cm，高為10cm，單層直立碼放在長方體的紙箱內，每箱4行，每行6個．易拉罐的底面印在箱底的痕跡如圖所示．
（1）請你設計兩種節約紙板的碼放方案，使包裝箱為長方體，每箱裝24個，可以改變它的長和寬，高仍為10cm．把你的設計方案中易拉罐的底面印在箱底的痕跡示意圖畫在下面的方格紙上，可以附必要的文字說明．
（2）某飲料廠的一條流水線每天生產這樣的易拉罐飲料6×10⁴個，按照你設計的方案分別比原來節約多少紙板（不計包裝箱紙板的重疊部分）？

Answer 1

分析：（1）利用兩圓相切的性質進行設計即可；
（2）首先計算原方案的所用面積，再進一步計算設計兩種方案的面積，相減即可．

解答：解：（1）設計方案（一）如圖所示
．
設計方案（二）如圖3所示．

（2）由原碼放方案的圖可知，

長方體底面的邊
AD=6×6=36，AB=6×4=24，
∴S₁=2×（36×24+36×10+24×10）=2928（cm²）．
設計方案（一）如圖2，由圓與圓外切的性質可知，
AD=6×6+3=39，
△O₁O₂O₃為等邊三角形，且O₁O₂=6，O₂E⊥O₁O₂，
∴O3E=6×sin60°=3

3

∴AB=3×3

3

+6=6+9

3

∴S2=2×[39×(6+9

3

)+39×10+(6+9

3

)×10]
=882

3

+1368
≈2895.6（cm²）．
6×10⁴÷24=2500=2.5×10³．
第一種可節約：
（2928-2895.6）×2.5×10³=8.343×10³（cm²）；
設計方案（二）如圖3，同理可得
AB=4×6+3=27，
AD=5×3

3

+6=15

3

+6
∴S3=2×[(6+15

3

)×27+(6+15

3

)×10+27×10]
=1110

3

+984≈2871（cm²）
第二種可節約（2928-2871）×2.5×10³=1.46775×10⁴（cm²）．
答：按照兩種設計方案分別比原來節約8.343×10³cm²和1.46775×10⁴cm²．

點評：此題主要是考查了兩圓相切的性質以及能夠結合等邊三角形的性質，解直角三角形的知識計算線段的長度，從而計算圖形的面積．