Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB邊的中點O為圓心，線段OA的長為半徑作圓，分別交BC、AC邊于點D、E，DF⊥AC于點F，延長FD交AB延長線于點G．
（1）求證：FD是⊙O的切線．
（2）若BC=AD=4，求tan∠GDB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，要證明FD是⊙O的切線，即轉化為證明DF⊥OD即可；
（2）利用圓周角定理和銳角三角函數以及已知條件證明∠GDB=∠CDF=∠CAD，即可求出tan∠GDB的值．
解答：（1）證明：連接OD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD于點D，
∴FD是⊙O的切線；

（2）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，BC=AD=4，
∴CD=BD=2，
∴，
∵DF⊥OD，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C=∠CDF+∠C=90°，
∴∠CDF=∠CAD，
∵∠GDB=∠CDF=∠CAD，
∴．
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．