Question

（2007•中山）如圖1、2，圖1是一個小朋友玩“滾鐵環”的游戲，鐵環是圓形的，鐵環向前滾動時，鐵環鉤保持與鐵環相切．將這個游戲抽象為數學問題，如圖2．已知鐵環的半徑為5個單位（每個單位為5cm），設鐵環中心為O，鐵環鉤與鐵環相切點為M，鐵環與地面接觸點為A，∠MOA=α，且sinα=．
（1）求點M離地面AC的高度BM（單位：厘米）；
（2）設人站立點C與點A的水平距離AC等于11個單位，求鐵環鉤MF的長度（單位：厘
米）．

Answer 1

【答案】分析：（1）過M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N．那么求BM的長就轉化為求HA的長，而要求出HA，必須先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα==，且鐵環的半徑為5個單位即OM=5，可求得HM的值，從而求得HA的值；
（2）因為∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，又因為sinα==，所以可得出FN和FM之間的數量關系，即FN=FM，再根據MN=11-3=8，利用勾股定理即可求出FM=10個單位．
解答：解：過M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N．
（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=5，
HM=OM×sinα=3，
所以OH=4，
MB=HA=5-4=1，
1×5=5cm．
所以鐵環鉤離地面的高度為5cm；

（2）∵鐵環鉤與鐵環相切，
∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，
∴=sinα=，
∴FN=FM，
在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC-AB=11-3=8．
∵FM²=FN²+MN²，
即FM²=（FM）²+8²，
解得：FM=10，
10×5=50（cm）．
∴鐵環鉤的長度FM為50cm．
點評：考查了解直角三角形的應用，解此題的關鍵是把實際問題轉化為數學問題，只要把實際問題抽象到解直角三角形中即可解答．