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“數缺形時少直觀，形少數時難入微”．小明學習上愛動腦，在計算
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+
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+…+
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+…的值時構造了這樣一個圖形：如圖，正△ABC面積為
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，分別取AC、BC兩邊的中點D、E，再分別取CD、CE的中點，依次取下去…，能直觀地求出它的值．也請你根據這個圖形計算：
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+
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+…+
1
4n
+…=
 
．
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分析：根據相似三角形面積之比等于相似比的平方，找規律求解．
解答：解：設第n個小三角形的面積為sn，則sn=
4-n
3

根據中位線定理，得出小三角形的面積是對應梯形面積的
1
3

即sn=
1
3
•
4-n-1-4-n
3
=
4-n-1-4-n
9

那么，s1+s2+s3+…+sn=
1
9
（1-4-1+4-1-4-2+…+4-n-2-4-n-1+4-n-1-4-n）=
1-4-n
9

同時，s1+s2+s3+…+sn=
4-1+4-2+4-3+…+4-n
3

以上兩式聯立解得：
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+
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+…+
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+…=
1-4-n
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點評：此題主要是根據相似三角形面積之比等于相似比的平方進行分析計算．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀題：我國著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形小數時難入微，數形結合百般好，隔離分家事萬休．”數形結合的基本思想，就是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案．
例：求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整數；
如果采用數形結合的方法，現利用圖形的性質來求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：
如圖，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3…n個小圓圈的個數恰好為所求式子1+2+3+4+…+n的值，為求式子的值，現把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個平行四邊形小圓圈的總個數為n（n+1）個，因此，組成一個三角形小圓圈的個數為
n(n+1)
2
，即1+2+3+4+…+n=
n(n+1)
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①仿照上述數形結合的思想方法，設計相關圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n為正整數（要求畫出圖形，寫出結果即可）
②試設計另外一種圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數（要求畫出圖形，寫出結果即可）
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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”．數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透．
數形結合的基本思想，就是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案．
例如：求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整數．
對于這個求和問題，如果采用純代數的方法（首尾兩頭加），問題雖然可以解決，但在求和過程中，需對n的奇偶性進行討論．
如果采用數形結合的方法，即用圖形的性質來說明數量關系的事實，那就非常的直觀．現利用圖形的性質來求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如圖，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，…，n個小圓圈排列組成的．而組成整個三角形小圓圈的個數恰為所求式子1+2+3+4+…+n的值．為求式子的值，現把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個平行四邊形．此時，組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n+1）個小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個數為n（n+1）個，因此，組成一個三角形小圓圈的個數為
n(n+1)
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，即1+2+3+4+…+n=
n(n+1)
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．
（1）仿照上述數形結合的思想方法，設計相關圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數．（要求：畫出圖形，并利用圖形做必要的推理說明）
（2）試設計另外一種圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數．（要求：畫出圖形，精英家教網并利用圖形做必要的推理說明）

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科目：初中數學 來源： 題型：

“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，小明在探究
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+…+
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結果時，發現可利用圖形的知識來解決問題．他是這樣規定的：在圖1中，若線段AB的長為1，C1為AB的中點，C2為C1B的中點，C3 為C2B的中點，…，Cn為Cn-1B的中點．
（1）則可以得出線段C1B=
 
，C1C2=
 
，ACn=
 
；
（2）從而發現了
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+…+
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=
 
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（3）小明學習上愛動腦，經過認真思考和分析后，發現在計算
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+…+
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時，也可以利用構造一個圖形，通過面積來計算．他構造圖形是：如圖2，正△ABC面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點A1、B1，再分別取A1C、B1C的中點A2、B2，依次取下去…，能直觀地計算出結果．請你根據這個圖形說明小明的結果：
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=
 
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請你對小明的發現，試給出必要的說理．
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科目：初中數學 來源： 題型：

一位老人非常喜歡孩子，每當有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們．來一個孩子，老人就給孩子一塊糖；來兩個孩子，老人就給每個孩子兩塊糖…
（1）第一天有a個男孩去了老人家，老人一共給了這些孩子a2塊糖；
（2）第二天有b個女孩去了老人家，老人一共給了這些孩子b2塊糖；
（3）第三天這（a+b）個孩子一起去了老人家，老人一共給了這些孩子（a+b）2塊糖．
這些孩子第三天得到的糖果數與前兩天他們得到的糖果總數相比哪個多，哪個少？為什么？經過思考可知，a個男孩每人多得了b塊糖，b個女孩每人多得了a塊糖，因此多得了ab+ab=2ab塊糖，即有（a+b）2=a2+b2+2ab．
我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”．在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透．
體會數形結合思想的內涵，試設計一種圖形來說明（a+b）2=a2+b2+2ab．（要求：畫出圖形，并利用圖形作必要的推理說明）

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