Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，P為對角線AC上的一動點，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，過點P作DP的垂線交BC于點G，DG交AC于點Q．下列說法：①EF=DP；②EF⊥DP；③

DG

DP

=

2

；④

AP2+QC2

PQ2

=

2

．其中正確的是（　　）

A．①②③④

B．①②③

C．①②④

D．①③④

Answer 1

作PH⊥AD交AD于H，
∵PH=PE，∠HAP=∠EAP，∠AHP=∠AEP
∴△AHP≌△AEP（AAS）
∴AH=AE，HD=BE=PF，
∵HP=EP，∠EPF=∠PHD=90°
∴△PHD≌△EPF（HL）
∴EF=DP，∠EFP=∠PDH，
∵EP平行且相等于BF，BE=FP
∴△EBF≌△EPF（HL）
∴EB=PF，∠EFP=∠FPG，
∵∠EBF=∠PFG=90°，
∴∠BEF=∠EFP=∠FPG，
∴△EBF≌△PFG（ASA）
∴EP平行且相等于FG
∴四邊形EFGP是平行四邊形
依題意PG⊥DP，故EF⊥DP，
由上得出△PHD≌△EPF，△EBF≌△EPF，△EBF≌△PFG
∴△PHD≌△PFG
∴PD=PG，三角形PDG為等腰直角三角形，
故

DG

DP

=

2

所以①②③正確，故選B．