Question

20、已知n是自然數，而n²-19n+91的值是完全平方數，求n．

Answer 1

分析：根據n²-19n+91=（n-9）²+（10-n），可分兩種情況：①當n＞10時（n²-19n+19）不會成為完全平方數；②當n≤10時，（n²-19n+91）才是完全平方數；從而得出n的值為9或10．

解答：解：若（n²-19n+91）處在兩個相鄰整數的完全平方數之間，則它的取值便固定了．
∵n²-19n+91=（n-9）²+（10-n）
當n＞10時，（n-10）²＜n²-19n+19＜（n-9）²
∴當n＞10時（n²-19n+19）不會成為完全平方數
∴當n≤10時，（n²-19n+91）才是完全平方數
經試算，n=9和n=10時，n²-19n+91是完全平方數．
所以滿足題意的值有：n=9和n=10共2個．

點評：本題考查了完全平方數的應用，是重點內容，要熟練掌握．