Question

【題目】如圖①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD＝CF，BD⊥CF成立．

（1）當△ABC繞點A逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）時，如圖②，BD＝CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉45°時，如圖③，延長DB交CF于點H；

（ⅰ）求證：BD⊥CF；

（ⅱ）當AB＝2，AD＝3時，求線段DH的長．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CF，理由詳見解析；（2）（ⅰ）詳見解析；（ⅱ）．

【解析】

（1）欲證明BD＝CF，只要證明△CAF≌△BAD即可；

（2）（ⅰ）由（1）得△CAF≌△BAD，推出∠CFA＝∠BDA，由∠FNH＝∠DNA，∠DNA+∠NAD＝90°，即可推出∠CFA+∠FNH＝90°，由此即可解決問題；

（ⅱ）只要證明△DMB∽△DHF，可得，構建方程即可解決問題；

（1）BD＝CF．

理由如下：由題意得，∠CAF＝∠BAD＝α，

在△CAF和△BAD中，

，

∴△CAF≌△BAD，

∴BD＝CF．

（2）（ⅰ）由（1）得△CAF≌△BAD，

∴∠CFA＝∠BDA，

∵∠FNH＝∠DNA，∠DNA+∠NAD＝90°，

∴∠CFA+∠FNH＝90°，

∴∠FHN＝90°，即BD⊥CF．

（ⅱ）連接DF，延長AB交DF于M，

∵四邊形ADEF是正方形，AD＝3，AB＝2，

∴AM＝DM＝3，BM＝AM﹣AB＝1，

DB＝

∵∠MAD＝∠MDA＝45°，

∴∠AMD＝90°，又∠DHF＝90°，∠MDB＝∠HDF，

∴△DMB∽△DHF，

，即，

解得，DH＝．