Question

兩個反比例函數y=

k

x

和y=-

1

x

，在第二象限內的圖象如圖所示，點P在y=

k

x

的圖象上，PC⊥x軸于點C交y=-

1

x

的圖象于點A，PD⊥y軸于點D交y=-

1

x

的圖象于點B，當點P在y=

k

x

的圖象上運動時，以下結論：
①-1＜k＜0；     ②k＜-1；
③△ODB與△OAC的面積相等；
④四邊形PAOB的面積不會發生變化；
⑤PA與PB始終相等；
⑥當點B是PD的中點時，點A一定是PC的中點．
其中一定正確的是

 

（把你認為正確的結論的序號都填上，少填、多填或錯填均不給分）

Answer 1

分析：根據反比例函數的圖象的性質，特別是根據反比例函數k的幾何意義，對各小題逐一進行分析，即可得出正確答案．

解答：解：根據題意，點P與點A的橫坐標相同，都是負數，點P的縱坐標大于點A的縱坐標，
∴

k

x

＞-

1

x

，
解得k＜-1，
∴①錯誤，②正確；
∵y=-

1

x

，
∴S_△ODB=

1

2

×|x|•|y|=

1

2

，
S_△OCA=

1

2

×|x|•|y|=

1

2

，
∴S_△ODB=S_△OCA，故③正確．
∵點P在y=

k

x

上，
∴S_矩形PCOD=|x|•|y|=|k|，
∴S_{四邊形PAOB}=S_矩形PCOD-S_△ODB-S_△OCA=|k|-

1

2

-

1

2

=-k-1，
∴四邊形PAOB的面積不會發生變化，故④正確；
設點P的坐標是（a，

k

a

），則點A的坐標是（a，-

1

a

），
則PA=

k

a

-（-

1

a

）=

k

a

+

1

a

，
∵點B的縱坐標為

k

a

，
∴-

1

x

=

k

a

，
解得x=-

a

k

，
∴點B的橫坐標是-

a

k

，
∴PB=-

a

k

-a，
若PA=PB，則

k

a

+

1

a

=-

a

k

-a，
整理得

k

a

=-a，
∴當且僅當點P的橫坐標與縱坐標的長度相等時，
即四邊形PCOD是正方形是，PA=PB，故⑤錯誤；
∵點B是PD的中點，
∴a=2（-

a

k

），
∴k=-2，
又點P的縱坐標是

k

a

，即-

2

a

，點A的坐標是-

1

a

，
∴-

2

a

=2（-

1

a

），
∴點A一定是PC的中點，故⑥正確．
綜上所述，一定正確的是②③④⑥．
故答案為：②③④⑥．

點評：本題考查反比例函數的綜合運用，綜合性較強，關鍵是知道函數圖象上的點和坐標軸構成的三角形的面積和四邊形的面積和k的關系．