Question

如圖1，四邊形ABCD是正方形，G在BC的延長線上，點E是邊BC上的任意一點（不與B、C重合），∠AEF=90°，且AE=EF，連接CF．
（1）求證：∠FCG=45°；
（2）如圖2，當四邊形ABCD是矩形，且AB=2AD時，點E是邊BC上的任意一點（不與B、C重合），∠AEF=90°，且AE=2EF，連接CF，求tan∠FCG的值．

Answer 1

分析：（1）連接FH，證出△ABE≌△EHF，得到BE=HF，再根據正四邊形的性質得到BC=AB=EH，從而計算出EH-EC=BC-EC，即BE=CH，故CH=HF，再根據∠CHF=90°，求出∠FCG=45°；
（2）作FI⊥EG與I，證出△ABE∽△EIF，得到EI=AD=BC，求出tan∠FCG的值．

解答：解：作FH⊥CG與H．
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
又∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠EAB，
又∵∠B=∠EHF，
且AE=EF，
∴△ABE≌△EHF，
∴BE=HF，
BC=AB=EH，
∴EH-EC=BC-EC，
∴BE=CH，
∴CH=HF．
∴∠FCH=∠CFH=

180°-90°

2

=45°；

（2）作FI⊥EG與I．
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEI=90°，
又∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠FEI=∠EAB，
又∵∠B=∠EIF，
∴△ABE∽△EIF，
∴

EI

AB

=

EF

AE

=

1

2

，
即EI=

1

2

AB，
故EI=AD=BC，
∴BE=CI，
∴tan∠FCG=

FI

IC

=

FI

BE

=

FE

AB

=

1

2

．

點評：此題考查了全等三角形與相似三角形的性質，巧妙運用正方形和矩形的性質，證明三角形全等或相似，是解題的關鍵．