Question

【題目】在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且AE=BD，
（1）當點E為AB的中點時，如圖1，求證：EC=ED；

（2）當點E不是AB的中點時，如圖2，過點E作EF∥BC，求證：△AEF是等邊三角形；

（3）在第（2）小題的條件下，EC與ED還相等嗎，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，在等邊△ABC中，AB=BC=AC，

∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，

∵AE=EB=BD，

∴∠ECB= ∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB= ∠ACB=30°，

∴∠EDB=∠ECB，

∴EC=ED

（2）證明：如圖2，∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，

∴△AEF為等邊三角形

（3）證明：EC=ED；

理由：∵∠AEF=∠ABC=60°，

∴∠EFC=∠DBE=120°，

∵AB=AC，AE=AF，

∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=FC，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DBE≌△EFC（SAS），

∴ED=EC．

【解析】（1）根據等邊三角形三線合一的性質可得∠ECB=30°，∠ABC=60°，根據AE=EB=BD，可得∠ECB= ∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB= ∠ACB=30°，根據等角對等邊即可證得結論；（2）根據平行線的性質證得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，即可證得結論；（3）先求得BE=FC，然后證得△DBE≌△EFC即可；