Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線經過原點O，點B（-2，n）在這條拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將直線y=-2x沿y軸向下平移b個單位后得到直線l，若直線l經過B點，求n、b的值；
（3）在（2）的條件下，設拋物線的對稱軸與x軸交于點C，直線l與y軸交于點D，且與拋物線的對稱軸交于點E．若P是拋物線上一點，且PB=PE，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線經過原點，將（0，0）代入求出m即可；
（2）將點B（-2，n）代入拋物線求出n的值，進而得出直線l的解析式中b的值；
（3）首先求出E點坐標，進而得出△DFB≌△DHE，再求直線CD的解析式，將一次函數與二次函數聯立求出交點坐標．
解答：解：（1）∵拋物線經過原點，
∴m²-6m+8=0．
解得m₁=2，m₂=4．
由題意知m≠4，
∴m=2．
∴拋物線的解析式為． 

（2）∵點B（-2，n）在拋物線上，
∴n=3．
∴B點的坐標為（-2，3）．
∵直線l的解析式為y=-2x-b，直線l經過B點，
∴3=-2（-2）-b．
∴b=1．

（3）∵拋物線的對稱軸為直線x=2，直線l的解析式為y=-2x-1，
∴拋物線的對稱軸與x軸的交點C的坐標為（2，0），
直線l與y軸、直線x=2的交點坐標分別為 D（0，-1）、E（2，-5）．
過點B作BG⊥直線x=2于G，與y軸交于F．
則BG=4．
在Rt△BGC中，．
∵CE=5，∴CB=CE．
過點E作EH⊥y軸于H．
則點H的坐標為 （0，-5）．
∵點F、D的坐標為F（0，3）、D（0，-1），
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°，
∵在△DFB和△DHE中

∴△DFB≌△DHE（SAS）．
∴DB=DE．
∵PB=PE，
∴點P在直線CD上．
∴符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點．
設直線CD的解析式為y=kx+a．
將D（0，-1）、C（2，0）代入，
得
解得 
∴直線CD的解析式為．
設點P的坐標為（x，），
∴=．
解得 ，．
∴，．
∴點P的坐標為（，）或（，）．
點評：此題主要考查了二次函數綜合應用以及待定系數法求一次函數解析式以及一次函數與二次函數交點問題等知識，利用數形結合得出符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點是解題關鍵．