Question

如圖，已知雙曲線y=

k

x

與直線y=

1

4

x相交于A、B兩點．第一象限上的點M（m，n）（在A點左側）是雙曲線y=

k

x

上的動點．過點B作BD∥y軸交x軸于點D．過N（0，-n）作NC∥x軸交雙曲線y=

k

x

于點E，交BD于點C．
（1）若點A坐標是（8，2），求B點坐標及反比例函數解析式．
（2）過A點作AQ垂直于y軸交于Q點，設P點從D點出發沿D→C→N路線以1個單位長度的速度運動，DC長為4．求△AQP的面積S與運動時間t的關系式，并求出S的最大值．
（3）若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據A點的橫坐標為（8，2），A、B兩點關于原點對稱，易得k的值；
（2）利用A，B兩點的坐標得出AQ，CN的長，利用P在CD上和P在CN上分別得出即可，進而得出面積最值即可；
（3）根據S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=

1

2

mn=

1

2

k，S_△OEN=

1

2

mn=

1

2

k，即可得出k的值，進而得出B，C點的坐標，再求出解析式即可．

解答：解：（1）∵點A坐標是（8，2），
∴B點坐標為（-8，-2）．
∴k=xy=-8×（-2）=16，
∴y=

16

x

；

（2）過A點作AQ垂直于y軸交于Q點，
設P點從D點出發延D→C→N路線以1個單位長度的速度運動，DC長為4，
∵點A坐標是（8，2），
∴AQ=8，DP=t，QN=6，
∴當0≤t≤4時，
S=

1

2

t×AQ=4t，
當4≤t≤10時，
S=

1

2

×QN×AQ=

1

2

×8×6=24；
∴△AQP的面積S與運動時間t的關系式為：

S=4t(0≤t≤4) S=24(4＜t≤10)

；
∴S的最大值為24；

（3）設B點坐標為（x₁，-

n

2

），代入y=

1

4

x得，-

n

2

=

1

4

x₁，x₁=-2n；
∴B點坐標為（-2n，-

n

2

）．
因為BD∥y軸，所以C點坐標為（-2n，-n）．
因為四邊形ODCN的面積為2n•n=2n²，三角形ODB，三角形OEN的面積均為

k

2

，四邊形OBCE的面積為4．
則有2n²-k=4   ①；
又因為2n•

n

2

=k，即n²=k  ②
②代入①得，4=2k-k，解得k=4；則解析式為y=

4

x

；
又因為n²=4，故n=2或n=-2．
M在第一象限，n＞0；
將M（m，2）代入解析式y=

4

x

，得m=2．故M點坐標為（2，2）；C（-4，-2）；
設直線CM解析式為y=kx+b，則

2k+b=2 -4k+b=-2

，
解得

k= 2 3 b= 2 3

∴一次函數解析式為：y=

2

3

x+

2

3

．

點評：此題主要考查了待定系數法函數解析式以及一次函數與反比例函數交點的性質，根據四邊形OBCE的面積為4得出k的值是解決問題的關鍵．