Question

圖1是用鋼絲制作的一個幾何探究工具，其中△ABC內接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB=6，AC=3．現將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標系中（如圖2），然后點A在射線Ox上由點O開始向右滑動，點B在射線Oy上也隨之向點O滑動（如圖3），當點B滑動至與點O重合時運動結束．
（1）試說明在運動過程中，原點O始終在⊙G上；
（2）設點C的坐標為（x，y），試探求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在整個運動過程中，點C運動的路程是多少？

Answer 1

分析：（1）因為OG始終是⊙G的半徑，所以原點O始終在⊙G上；
（2）運動過程中，弧AC的長保持不變，弧AC所對應的圓周角∠AOC保持不變，等于∠XOC，∠xOC=30°，y=

3 x

3

．即自變量x的取值范圍是

3 3

2

≤x≤3

3

；
（3）利用勾股定理可求得，點C運動的路程總路徑為：C₁C₂+C₂C₃=3+6-3

3

=9-3

3

．

解答：解：（1）∵AB是⊙G的直徑，
∴∠AOB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴原點O始終在⊙G上；

（2）運動過程中，弧AC的長保持不變，
∵AB=6，AC=3，
∴sin∠ABC=

AC

AB

=

1

2

，
∴∠ABC=30°，
∴∠ACB=30°，
∴弧AC所對應的圓周角∠AGC保持不變，
即弧AC的長保持不變，

由圖2可知，∠AOC=30°，y=

3 x

3

，
即自變量x的取值范圍是

3 3

2

≤x≤3

3

；

（3）解：如圖1，連接OG．
∵∠AOB是直角，G為AB中點，
∴GO=

1

2

AB=半徑，
∴原點O始終在⊙G上．
∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，
∴BC=3

3

，
連接OC．則∠AOC=∠ABC，
∴tan∠AOC=

AC

BC

=

3

3

，
∴點C在與x軸夾角為∠AOC的射線上運動．
如圖2，C₁C₂=OC₂-OC₁=6-3=3；
如圖3，C₂C₃=OC₂-OC₃=6-3

3

；
∴總路徑為：C₁C₂+C₂C₃=3+6-3

3

=9-3

3

．

點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．