Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是AC的中點，AE=2．經過點E作△ABE外接圓的切線交BC于點D，過點C作CF⊥BC交BE的延長線于點F，連接FD交AC于點H，FD平分∠BFC．

（1）求證：DE=DC；

（2）求證：HE=HC=1；

（3）求BD的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）根據切線的定義證得DE⊥BF；然后由角平分線的性質（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等）證得DE=DC；

（2）根據全等直角三角形的判定定理HL證得Rt△DEF≌Rt△DCF；然后由全等三角形的對應角相等、等腰三角形的“三合一”的性質推知CH=CE=1；

（3）由相似三角形△ABC∽△AEB的對應邊成比例求得AB=2；然后在Rt△ABE中利用正切三角函數的定義推知tan∠ABE=；最后由勾股定理、等角的三角函數值相等即可求得BC、CD的長度，從而求得BD=BC-CD．

（1）證明：∵∠BAC=90°，

∴BE是△ABE外接圓的直徑；

又∵DE是△ABE外接圓的切線，

∴DE⊥BF；

又∵CF⊥BC，FD平分∠BFC，

∴DE=DC；

（2）證明：∵E是AC的中點，AE=2，

∴CE=AE=2；

在Rt△DEF和Rt△DCF中，

，

∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL），

∴∠EDH=∠CDH，

∴DH是CE邊上的中線，DH⊥CE，

∴HE=HC=1；

（3）∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠FEH，∠FEH+∠DEH=90°，

∴∠ABE=∠DEH=∠DCH，

又∵∠A=∠A，

∴△ABC∽△AEB，

∴AB：AC=AE：AB，

∵AE=2，AC=2AE=4，

∴AB=2，

∴tan∠ABE=；

∴在Rt△ABC中，根據勾股定理知，BC=2；

∵tan∠ABE=tan∠DCH=，

∴DH=，

∴CD=，

∴BD=BC-CD=．