Question

【題目】類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．

概念理解：

如圖，在四邊形中，添加一個條件使得四邊形是“等鄰邊四邊形”．請寫出你添加的一個條件，你添加的條件是________．

問題探究：

如圖，在“等鄰邊四邊形”中，，，，求對角線的長．

拓展應用：

如圖，“等鄰邊四邊形”中，，，，為對角線，試探究，，的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）．（2）；（3）

【解析】

（1）根據定義可知：只需要一組鄰邊相等即可．

（2）由AB=AD，∠BAD=60°，可知△ABD是等邊三角形，再由∠ABC=∠ADC=90°，可知CB=CD，所以AC垂直平分BD，然后利用直角三角形的相關性質分別計算出AO和OC的長度．

（3）由于∠BAD+∠BCD=90°，所以考慮構造直角三角形使得該直角三角形的三邊長度分別是AC、BC、CD的長度，然后利用勾股定理即可得出AC2=BC2+CD2

（1）根據定義：AB=BC．

（2）連接AC、BD交于點O，如圖，

∵AB=AD，∠BAD=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴∠ABD=∠ADB=60°，

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠CBD=∠CDB=30°，

∴CB=CD，

∴AC垂直平分BD，

∴，

∴，

在Rt△BOC中，

，

∴OC=，

∴AC=AO+OC=4；

（3）過點C作CE⊥BC于點C，且使得CE=CD，

∵∠BAD+∠BCD=90°，

∴∠DCE=60°，

∴△CDE是等邊三角形，

∴DE=CD，∠EDC=60°，

∵AB=AD，∠DAB=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

在△ADC和△BDE中，

，

∴△ADC≌△BDE（SAS），

∴AC=BE，

∵∠BCE=90°，

∴BE2=BC2+CE2，

即AC2=BC2+CD2