Question

已知關于x的一元二次方程x²=2（1-m）x-m²的兩實數根為x₁，x₂
（1）求m的取值范圍；
（2）設y=x₁+x₂，當y取得最小值時，求相應m的值，并求出最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關于m的不等式，可求出m的取值范圍；
（2）根據根與系數的關系可得出x₁+x₂的表達式，進而可得出y、m的函數關系式，根據函數的性質及（1）題得出的自變量的取值范圍，即可求出y的最小值及對應的m值．
解答：解：（1）將原方程整理為x²+2（m-1）x+m²=0；
∵原方程有兩個實數根，
∴△=[2（m-1）]²-4m²=-8m+4≥0，得m≤；

（2）∵x₁，x₂為一元二次方程x²=2（1-m）x-m²，即x²+2（m-1）x+m²=0的兩根，
∴y=x₁+x₂=-2m+2，且m≤；
因而y隨m的增大而減小，故當m=時，取得最小值1．
點評：此題是根的判別式、根與系數的關系與一次函數的結合題．牢記一次函數的性質是解答（2）題的關鍵．