Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分線交于點E，直線AE交BC于D．
求證：AD⊥BC
證明：∵AB=AC  （已知），∴∠ABC=∠ACB  （

 

 ）
∵BE平分∠ABC （已知），CE平分∠ACB （已知），
∴∠EBD=

1

2

 

，∠ECD=

1

2

 

 （ 角平分線的定義  ），
∴∠EBD=∠ECD  （ 等量代換 ），
∴BE=CE  （

 

  ），
在△ABE和△ACE中，
∵

AB=AC(已知) BE=CE(已證) AE=AE(公共邊)

∴△ABE≌△ACE  （

 

），
∴∠BAE=∠CAE  （全等三角形對應角相等），
∵AB=AC （已知），
∴AD⊥BC  （

 

）．

Answer 1

分析：根據等腰三角形的形的性質：等邊對等角可證∠ABC=∠ACB，根據角平分線定義可得∠EBD=

1

2

ABD，∠ECD=

1

2

 ACD，利用SSS求證△ABE≌△ACE，再利用等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合這一性質可證AD⊥BC．

解答：證明：∵AB=AC  （已知），
∴∠ABC=∠ACB  （ 等邊對等角 ）
∵BE平分∠ABC （已知），CE平分∠ACB （已知），
∴∠EBD=

1

2

ABD，∠ECD=

1

2

 ACD （ 角平分線的定義  ），
∴∠EBD=∠ECD  （ 等量代換 ），
∴BE=CE  （ 等角對等邊  ），
在△ABE和△ACE中，
∵

AB=AC(已知) BE=CE(已證) AE=AE(公共邊)

∴△ABE≌△ACE  （ SSS），
∴∠BAE=∠CAE  （全等三角形對應角相等），
∵AB=AC （已知），
∴AD⊥BC  （ 等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合）．

點評：此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質，等腰三角形的形的性質，角平分線的性質等知識點的理解和掌握，比較簡單，屬于基礎題．