Question

下面我們來定義一個數學概念．平面區域的平分線：一條曲線圍成的平面區域．連接邊界兩點的一條曲線，如果把平面區域分成面積相等的兩部分，則稱其為區域的平分線．（注意：直線段、折線都視為曲線．）
我們可以求得邊長為1的等邊△ABC三條平分線：等邊三角形的高、平行于邊的線段和圓心在頂點的圓周，它們的長度分別為、和．如圖．

請解答下面的問題：給定一個邊長為1的正方形ABCD，如圖．
（1）指出與例子類似的三條平分線；
（2）求出你指出的三條平分線的長度；
（3）比較這三條平分線長度的大小．

Answer 1

解：（1）正方形的對角線，過中心且平行于邊的線段，以正方形一個頂點為圓心的四分之一圓弧．
（2）前兩條平分線的長分別是和1．
下面求第三條平分線的長度：
設圓的半徑為x，則，得，所以四分之一圓弧長為．
（3）因為4＞π，所以
所以，正方形的對角線長＞以正方形一個頂點為圓心的四分之一圓弧長＞過中心且平行于邊的線段長．
分析：（1）正方形的對角線，過中心且平行于邊的線段，以正方形一個頂點為圓心的四分之一圓弧這三條弧線，
（2）正方形的對角線，過中心且平行于邊的線段的長度易求，以正方形一個頂點為圓心的四分之一圓弧這三條弧線根據弧長公式求出，
（3）直接作比較即可．
點評：本題主要考查弧長的計算和正方形的性質，此題很新穎，但不是很難．