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如圖,在以AB為直徑的半圓中,有一個邊長為1的內接正方形CDEF,則,以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是( )

A.
B.
C.
D.
【答案】分析:連接AD,BD,OD,由AB為直徑與四邊形DCFE是正方形,即可證得△ACD∽△DCB,則可求得AC•BC=DC2=1,又由勾股定理求得AB的值,即可得AC+BC=AB,根據根與系數的關系即可求得答案.注意此題答案不唯一.
解答:解:連接AD,BD,OD,作OG⊥DE于G.
∴DG=DE,∠DGO=90°,.
∵AB為直徑,
∴∠ADB=90°,
∵四邊形DCFE是正方形,
∴∠CDG=∠DCO=90°,DE=CD=CF,
∴四邊形DCOG是矩形,
∴CO=DG,
∴CO=DE.
∵四邊形DCFE是正方形,
∴DC⊥AB,
∴∠ACD=∠DCB=90°,
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°,
∴∠A=∠CDB,
∴△ACD∽△DCB,
∴AC:DC=DC:BC,
∵正方形CDEF的邊長為1,
∴AC•BC=DC2=1,
∵AC+BC=AB,
∵O是圓心,四邊形DEFC是正方形,
∴OC=CF=
在Rt△OCD中,OC2+CD2=OD2
∴OD=
∴AC+BC=AB=
以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是x2-x+1=0.
故選A.
點評:此題考查了正方形的性質,相似三角形的判定與性質以及根與系數的關系.此題屬于開放題,注意數形結合與方程思想的應用.
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30°

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