Question

如圖，在以AB為直徑的半圓中，有一個邊長為1的內接正方形CDEF，則，以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：連接AD，BD，OD，由AB為直徑與四邊形DCFE是正方形，即可證得△ACD∽△DCB，則可求得AC•BC=DC²=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根據根與系數的關系即可求得答案．注意此題答案不唯一．
解答：解：連接AD，BD，OD，作OG⊥DE于G．
∴DG=DE，∠DGO=90°，．
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵四邊形DCFE是正方形，
∴∠CDG=∠DCO=90°，DE=CD=CF，
∴四邊形DCOG是矩形，
∴CO=DG，
∴CO=DE．
∵四邊形DCFE是正方形，
∴DC⊥AB，
∴∠ACD=∠DCB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=∠CDB，
∴△ACD∽△DCB，
∴AC：DC=DC：BC，
∵正方形CDEF的邊長為1，
∴AC•BC=DC²=1，
∵AC+BC=AB，
∵O是圓心，四邊形DEFC是正方形，
∴OC=CF=．
在Rt△OCD中，OC²+CD²=OD²，
∴OD=，
∴AC+BC=AB=，
以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是x²-x+1=0．
故選A．
點評：此題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質以及根與系數的關系．此題屬于開放題，注意數形結合與方程思想的應用．