Question

如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠OAB=30度．
（1）求∠APB的度數；
（2）當OA=3時，求AP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）方法1，根據四邊形的內角和為360°，根據切線的性質可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度數，可將∠APB的度數求出；方法2，證明△ABP為等邊三角形，從而可將∠APB的度數求出；
（2）方法1，作輔助線，連接OP，在Rt△OAP中，利用三角函數，可將AP的長求出；方法2，作輔助線，過點O作OD⊥AB于點D，在Rt△OAD中，將AD的長求出，從而將AB的長求出，也即AP的長．
解答：解：（1）方法一：
∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，
∴∠AOB=180°-2×30°=120°，
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∴在四邊形OAPB中，
∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．

方法二：
∵PA、PB是⊙O的切線∴PA=PB，OA⊥PA；
∵∠OAB=30°，OA⊥PA，
∴∠BAP=90°-30°=60°，
∴△ABP是等邊三角形，
∴∠APB=60°．

（2）方法一：如圖①，連接OP；
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，
又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，
∴AP==3．

方法二：如圖②，作OD⊥AB交AB于點D；
∵在△OAB中，OA=OB，
∴AD=AB；
∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30°，
∴AD=OA•cos30°=，
∴AP=AB=．
點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．