Question

閱讀并解答問題．
如圖，已知：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC＞2AD．
證明：延長AD至E使得DE=AD，連接EC，則AE=2AD
∵AD為△ABC的中線
∴BD=CD
在△ABD和△CED中

(     ) (     ) (     )

，
∴△ABD≌△CED
∴AB=EC
在△ACE中，根據三角形的三邊關系有
AC+EC

 

AE
而AB=EC，AE=2AD
∴AB+AC＞2AD
這種輔助線方法，我們稱為“倍長中線法”，請利用這種方法解決以下問題：
（1）如圖，已知：CD為Rt△ABC的中線，∠ACB=90°，求證：CD=

1

2

AB；
（2）把（1）中的結論用簡潔的語言描述出來．

Answer 1

分析：（1）延長CD至E使DE=CD，連接EB，AE．先證△ADC≌△BDE，得AC=BE，四邊形ACBE是平行四邊形，進而得出平行四邊形ACBE是矩形，得AB=CE=2CD；
（2）根據證明的結論得出直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

解答：解：（1）證明：延長CD至E使DE=CD，連接EB，AE．
∵CD為Rt△ABC的中線，
∴AD=CD，
∵CD=DE，∠ADC=∠EDB，
∴△ADC≌△EDB，
∴∠ACD=∠DEB，AC=BE，
∴AC∥BE，
∴四邊形ACBE是平行四邊形，
又∵∠ACB=90°，
∴平行四邊形ACBE是矩形，
∴AB=CE，CD=DE=AD=BD，
∴CD=

1

2

AB；

（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及矩形的判定與性質等知識，根據已知得出AB=CE利用矩形性質得出是解決問題的關鍵．