Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，點P從A出發向C以1cm/s的速度運動、點Q同時從C出發向B以1cm/s的速度運動，當一個點運動到終點時，該點停止運動，另一個點繼續運動，當兩個點都到達終點時也停止運動．
（1）幾秒后，△CPQ的面積為Rt△ABC的面積的

1

8

？
（2）填空：①點經過

25

4

秒，點P在線段AB的垂直平分線上．
②點Q經過

8

3

秒，點Q在∠BAC的平分線上．

Answer 1

分析：（1）設經過x秒，首先求得線段BC的長，然后分x≤6和6＜x≤8兩種情況列方程求解即可；
（2）①點P在線段AB的垂直平分線上，即可得到PA=PB，從而求得時間；
②點Q在∠BAC的平分線上，則Q點到AC和AB的距離相等．

解答：解；（1）設經過x秒．
在Rt△ABC中，BC=

AB2-AC2

=6(cm)
根據題意得；
當x≤6時，

1

2

（8-x）x=

1

8

×

1

2

×8×6
解得：x1=4-

10

，x2=4+

10

(舍去)
當6＜x≤8時，

1

2

（8-x）×6=37
解得：x=7
答：經過7秒或4-

10

秒．
（2）當點P在線段AB的垂直平分線上時，PA=PB，
∵設經過x秒后點P在線段AB的垂直平分線上，
∴x²=（8-x）²+6²
解得：x=

25

4

，
∴經過

25

4

秒，點P在線段AB的垂直平分線上
②如圖，作QD⊥AB于點D，
∵點Q在∠BAC的平分線上，
∴QD=QC，
設經過x秒，
則CQ=x，則QD=

5

4

（6-x），
∴x=

5

4

（6-x），解得：x=

8

3

，
∴點Q經過

8

3

秒，點Q在∠BAC的平分線上．

點評：本題考查了一元二次方程、角平分線的性質、垂直平分線的性質及勾股定理的知識，解題的關鍵是根據相關性質設出未知數并列出方程．