Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，圖形G上點P（x，y）的縱坐標y與其橫坐標x的差y﹣x稱為P點的“坐標差”，而圖形G上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”．

（1）①點A（1，3）的“坐標差”為　 　；

②拋物線y＝﹣x2+3x+4的“特征值”為　 　；

（2）某二次函數y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”為﹣1，點B（m，0）與點C分別是此二次函數的圖象與x軸和y軸的交點，且點B與點C的“坐標差”相等．

①直接寫出m＝　 　；（用含c的式子表示）

②求此二次函數的表達式．

Answer 1

【答案】（1）①2；②5；（2）①m=－c；②y=﹣x2+3x-2

【解析】

（1）①由題中所給“坐標差”的定義即可得到點A（1，3）的坐標差.

②由坐標差的定義可得：二次函數y＝－x2＋3x＋4圖象上點的坐標差為：y－x＝－x2＋3x＋3－x＝－x2＋2x＋3，將此關系式配方即可求得y－x的最大值，從而得到拋物線y＝－x2＋3x＋4的“特征值”.

（2）①由題意可得：0－m＝c－0，由此可得：m＝－c.

②由m＝－c可得點B的坐標為（－c，0），把點B的坐標代入y＝x2＋bx＋c（c≠0）中可得c(c－b＋1)＝0，由c≠0可得c－b＋1＝0，即b＝c＋1.再由y＝x2＋bx＋c（c≠0）的特征值為－1可得：＝－1，兩者即可解得b和c的值，由此即可得到二次函數的解析式.

（1）①2.②4.

點A（1，3）的“坐標差”為3－1＝2，拋物線y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”為－x2＋3x＋4－x的最大值，－x2＋3x＋4－x＝－x2＋2x＋4＝－(x2－2x＋1－1)＋4＝－(x－1)2＋5，所以拋物線y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”為5.

（2）①m＝－c.

②∵m＝－c

∴B（－c，0）

將其代入 y＝－x2＋bx＋c中，

得－c2－bc＋c＝0

∵c≠0

∴－c－b＋1＝0

∴b＝－c＋1①

∴其“坐標差”為：y－x＝－x2＋bx＋c－x＝－x2＋（b－1）x＋c.

∵“特征值”為－1.

∴＝－1 ②.

將①代入②中，得c＝－2.

∴b＝－c＋1＝3.

∴拋物線的表達式為y＝－x2＋3x－2.