Question

【題目】如圖，在中，，點，分別為，上一點，，連接，，.

（1）如圖1，若，，求的長；

（2）如圖2，連接交于點，點為上一點，連接交于點，若，求證：；

（3）在（2）的條件下，若，直接寫出線段，，的等量關系.

Answer 1

【答案】（1）9-（2）見解析（3）AD+MC= AC，理由見解析.

【解析】

（1）過點D作DF⊥BE，根據等邊三角形的的性質求出DF的長，再利用勾股定理求出CF，即可求出EC的長；

（2）作AG=AB, 得到△ABG為等邊三角形，先證明△ABE≌△AGM，再證明△AGC≌△CED，得到CG=DE，再根據MG=BE=DE即可求解；

（3）作AH⊥BC，根據∠ACB=45°，∠BAC=75°，得到∠BAH=30°，∠HAC=45°設BH=x,

根據含30°的直角三角形與等腰直角三角形的性質分別表示出AD,MC,AC，即可求解.

（1）∵，=

∴△BDE為等邊三角形，

作DF⊥BE，

∴EF=BE=

∴DF=

∵CD=

∴CF==9

∴EC=CF-EF=9-；

（2）作AG=AB,∵∠B=60°，

∴△ABG為等邊三角形，

∵AE=AM，∠ABE=∠AGM=60°，

∴△ABE≌△AGM，

∴∠ADC=60°+∠2=∠DAC=60°+∠1

故∠1=∠2，

∵∠AGC=120°=∠CED，AC=CD

∴△AGC≌△CED，

∴CG=DE，

又MG=BE=DE,

∴MC=MG+CG=2DE.

（3）∵∠ACB=45°，∠BAC=75°，

∴∠1=∠2=15°，

作AH⊥BC，∴∠BAH=30°，∠HAC=45°

設BH=x,

∴AB=2x,AH=x=CH

∴AC==x，BC=(+1)x,

故CG=BC-BG=(-1)x,BD=CG=(-1)x

AD=AB-BD=(3-)x

CM=(2-x)x

∴AD+MC=(+1)x=AC

即AD+MC= AC.