Question

【題目】在四邊形中，，，是對角線，于點，于點

(1)如圖1，求證：

(2)如圖2，當時，連接、，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于四邊形面積的．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）根據平行線的性質可得，然后根據AAS即可證得結論；

（2）由已知條件、直角三角形的性質和平行線的性質可依次得出∠BAE=30°，∠ABE＝60°，∠ADB＝30°，然后利用30°角的直角三角形的性質可得BE與AB，AE與AD的關系，進而可得△ABE的面積=四邊形ABCD的面積，即得△CDF的面積與四邊形ABCD的面積的關系；作EG⊥BC于G，由直角三角形的性質得出EG與AB的關系，進而可得△BCE的面積＝四邊形ABCD的面積，同理可得△ADF的面積與四邊形ABCD的面積的關系，問題即得解決．

（1）證明：，，

，，

，

≌（AAS），

；

（2）△ABE的面積＝△CDF的面積＝△BCE的面積＝△ADF的面積＝四邊形ABCD面積的．理由如下：

∵AD=BC，，DB=BD，∴△ADB≌△CBD，∴四邊形ABCD的面積=2×△ABD的面積= AB×AD，

∵，∴∠BAE=30°，

∴∠ABE＝60°，∠ADB＝30°，

∴BE＝AB，AE＝AD，

∴△ABE的面積＝BE×AE＝×AB×AD＝AB×AD＝四邊形ABCD的面積；

∵△ABE≌△CDF，∴△CDF的面積═四邊形ABCD的面積；

作EG⊥BC于G，如圖所示：∵∠CBD＝∠ADB＝30°，∴EG＝BE＝×AB＝AB，

∴△BCE的面積＝BC×EG＝BC×AB＝BC×AB＝四邊形ABCD的面積，

同理：△ADF的面積＝矩形ABCD的面積．