Question

【題目】已知：如圖，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點， ⊙O1經過點O2，點C在上運動（點C 不與A、B重合），AC的延長線交⊙O2于P，連結AB、BC、BP；

（1）按題意將圖形補充完整；

（2）當點C在上運動時，圖中不變的角有 （將符合要求的角都寫上）

（3）線段BC、PC的長度存在何種關系？寫出結論，并加以證明；

（4）設⊙O1和⊙O2的半徑為、，當，滿足什么條件時，為等腰直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠ACB，∠BCP，∠APB，∠CBP；（3）CB = CP；理由見解析；（4）

【解析】

（1）根據題意作圖即可；

（2）由圓周角定理得∠ACB和∠APB不變，然后根據鄰補角的性質和三角形外角的性質可得∠BCP和∠CBP不變；

（3）連結AO2，BO2，根據圓周角定理和三角形外角的性質求出∠CBP =∠P即可得BC = PC；

（4）由△BCP為等腰直角三角形得出弦AB為⊙O1的直徑，△AO2B為等腰直角三角形，然后根據勾股定理列式計算即可．

解：（1）如圖所示：

（2）由圓周角定理得：∠ACB和∠APB不變，

∴∠BCP不變，

∵∠ACB＝∠APB＋∠CBP，

∴∠CBP不變，

故圖中不變的角有∠ACB，∠BCP，∠APB，∠CBP；

（3）BC = PC；

證明：連結AO2，BO2，

∵∠AO2B =∠ACB = 2∠P，∠ACB = ∠CBP +∠P，

∴∠CBP =∠P，

∴BC = PC；

（4）要使△BCP為等腰直角三角形，已有BC＝PC，只需∠BCP =90°，

∴∠ACB＝90°，

∴弦AB為⊙O1的直徑，

∴△AO2B為等腰直角三角形，

∴，

∴．