Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A（0，1），點C（1，0），正方形AOCD的兩條對角線的交點為B，延長BD至點G，使DG=BD，延長BC至點E，使CE=BC，以BG，BE為鄰邊作正方形BEFG．

（Ⅰ）如圖①，求OD的長及的值；

（Ⅱ）如圖②，正方形AOCD固定，將正方形BEFG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得正方形BE′F′G′，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），連接AG′．

①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠BAG′=90°時，求α的大小；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF′的長取最大值時，點F′的坐標及此時α的大小（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①α=30°或150°時，∠BAG′=90°②當(dāng)α=315°時，A、B、F′在一條直線上時，AF′的長最大，最大值為+2，此時α=315°，F(xiàn)′（+，﹣）

【解析】

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可解決問題,(2)①因為∠BAG′=90°,

BG′=2AB,可知sin∠AG′B=,推出∠AG′B=30°,推出旋轉(zhuǎn)角α=30°,據(jù)對稱性可知,當(dāng)∠ABG″=60°時,∠BAG″=90°,也滿足條件,此時旋轉(zhuǎn)角α=150°,②當(dāng)α=315°時,A、B、F′在一條直線上時,AF′的長最大.

（Ⅰ）如圖1中，

∵A（0，1），

∴OA=1，

∵四邊形OADC是正方形，

∴∠OAD=90°，AD=OA=1，

∴OD=AC==，

∴AB=BC=BD=BO=，

∵BD=DG，

∴BG=，

∴==．

（Ⅱ）①如圖2中，

∵∠BAG′=90°，BG′=2AB，

∴sin∠AG′B==，

∴∠AG′B=30°，

∴∠ABG′=60°，

∴∠DBG′=30°，

∴旋轉(zhuǎn)角α=30°，

根據(jù)對稱性可知，當(dāng)∠ABG″=60°時，∠BAG″=90°，也滿足條件，此時旋轉(zhuǎn)角α=150°，

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角α=30°或150°時，∠BAG′=90°．

②如圖3中，連接OF，

∵四邊形BE′F′G′是正方形的邊長為

∴BF′=2，

∴當(dāng)α=315°時，A、B、F′在一條直線上時，AF′的長最大，最大值為+2，

此時α=315°，F(xiàn)′（+，﹣）