Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，點D是BC邊的中點．點P從點B出發，以acm/s(a＞0)的速度沿BA勻速向點A運動；點Q同時以1cm/s的速度從點D出發，沿DB勻速向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設它們運動的時間為ts．

(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；

(2)設點M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形．

①若a＝，求PQ的長；

②是否存在實數a，使得點P在∠ACB的平分線上？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明

理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中點，∴BD=CD=BC=6。

∵a=2，∴BP=2t，DQ=t。∴BQ=BD－QD=6－t。

∵△BPQ∽△BDA，∴，即，解得：。

（2）①過點P作PE⊥BC于E，

 

 

∵四邊形PQCM為平行四邊形，

∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。

∴PB：AB=CM：AC。

∵AB=AC，∴PB=CM。∴PB=PQ。

∴BE=BQ=（6－t）。

∵a=，∴PB=t。

∵AD⊥BC，∴PE∥AD。∴PB：AB=BE：BD，即。

解得，t=。

∴PQ=PB=t=（cm）。

②不存在．理由如下：

 

 

∵四邊形PQCM為平行四邊形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。

∴PB：AB=CM：AC。

∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ。

若點P在∠ACB的平分線上，則∠PCQ=∠PCM，

∵PM∥CQ，∴∠PCQ=∠CPM。∴∠CPM=∠PCM。

∴PM=CM。∴四邊形PQCM是菱形。∴PQ=CQ。

∴PB=CQ。

∵PB=at，CQ=BD+QD=6+t，∴PM=CQ=6+t，AP=AB－PB=10－at，且 at=6+t①。

∵PM∥CQ，∴PM：BC=AP：AB，∴，化簡得：6at+5t=30②。

把①代入②得，t=。

∴不存在實數a，使得點P在∠ACB的平分線上。

【解析】等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，平行的性質，菱形的判定和性質，反證法。

【分析】（1）由△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中點，根據等腰三角形三線合一的性質，

即可求得BD與CD的長，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得t的值。

（2）①首先過點P作PE⊥BC于E，由四邊形PQCM為平行四邊形，易證得PB=PQ，又由平行

線分線段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。

②用反證法，假設存在點P在∠ACB的平分線上，由四邊形PQCM為平行四邊形，可得四邊形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程組，解此方程組求得t值為負，故可得不存在。