Question

（1）如圖1，已知平行四邊形ABCD中，點E為BC邊的中點，延長DE，AB相交于點F．求證：CD=BF．
（2）如圖2，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，若⊙O的半徑r=

3

2

，AC=2，請你求出cosB的值．

Answer 1

分析：（1）欲證CD=BF，需證△CDE≌△BFE．由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以DC∥BF，∠1=∠3，∠C=∠2．又點E為BC邊的中點，根據AAS，所以△CDE≌△BFE；
（2）由圓周角定理可知∠B=∠D，所以只需在Rt△ACD中，求出∠D的余弦值即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，即DC∥AF．
∴∠1=∠F，∠C=∠2．
∵E為BC的中點，
∴CE=BE．
∴△DCE≌△FBE．
∴CD=BF；

（2）解：∵AD是⊙O的直徑，r=

3

2

，∴∠ACD=90°，AD=3，
∵AC=2，
∴CD=

32-22

=

5

，
∴cosD=

5

3

，
∵∠B和∠D是同弧所對的圓周角，
∴∠B=∠D，
∴cosB=cosD=

5

3

．

點評：（1）本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是靈活應用平行四邊形的各個性質；
（2）此題主要考查的是圓周角定理、勾股定理以及銳角三角函數的定義；能夠根據圓周角定理將所求角轉化到直角三角形中，是解答此題的關鍵．