Question

【題目】閱讀理解：

圓是最完美的圖形，它具有一些特殊的性質：同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半……；先構造“輔助圓”，再利用圓的性質將問題進行轉化，往往能化隱為顯、化難為易．

解決問題：

如圖，點與點的坐標分別是，，點是該直角坐標系內的一個動點．

（1）使的點有_________個；

（2）若點在的負半軸上，且，求滿足條件的點的坐標；

（3）當為銳角時，設，若點在軸上移動時，滿足條件的點有4個，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）無數；（2）或；（3）．

【解析】

（1）以AB為邊作出等邊△ABE和△ABF，分別以點E、F為圓心，AB為半徑作⊙E、⊙F，根據圓周角定理可知，使的點有無數個；

（2）過點E作EH⊥y軸，EG⊥x軸，垂足分別為H、G，連接EC1，利用垂徑定理求得AH＝BH＝3，再根據矩形性質得EG＝OH＝5，OG＝EH，最后利用勾股定理計算即可；

（3）根據滿足條件的點有4個可知⊙E、⊙F與x軸相交，當⊙E與x軸相切于點C時，可得EB＝EC＝OH＝5，利用三角函數可求得sin∠BEH的值，再根據垂徑定理及圓周角定理可得∠BEH＝∠ACB，進而可求得符合題意的的取值范圍．

解：（1）如圖，△ABE和△ABF為等邊三角形，分別以點E、F為圓心，AB為半徑作⊙E、⊙F，根據圓周角定理可知，弦AB所對的優弧上的任意一點C都使，

∴使的點有無數個；

（2）如圖，過點E作EH⊥y軸，EG⊥x軸，垂足分別為H、G，連接EC1，

∵點與點的坐標分別是，，

∴OA＝2，OB＝8，AB＝6，

∵EH⊥y軸，

∴AH＝BH＝3，

∴OH＝OA＋AH＝2＋3＝5，

∵EH⊥y軸，EG⊥x軸，x軸⊥y軸，

∴四邊形EGOH為矩形，

∴EG＝OH＝5，OG＝EH，

∵AB＝6，△ABE為等邊三角形，點C1在⊙E上

∴EC1＝EA＝AB＝6，

在Rt△EAH中，EH，

∴OG＝EH＝，

在Rt△EC1G中，C1G，

∴OC1＝ OG＋ C1G＝，

∴點C1坐標為，

同理可得：點C2坐標為，

滿足條件的點的坐標為或；

（3）如圖，當⊙E與x軸相切于點C時，則EC⊥x軸，EC＝EB，

又∵EH⊥y軸，x軸⊥y軸，

∴四邊形ECOH為矩形，

∴EC＝OH＝5，

∴EB＝EC＝5，

∴在Rt△EBH中，sin∠BEH，

∵∠BEH＝∠BEA，∠ACB＝∠BEA，

∴∠ACB＝∠BEH

∴sin∠ACB＝sin∠BEH，

∵當為銳角時，滿足條件的點有4個，

∴⊙E與x軸相交，

∴sin∠ACB＜，

∵，

∴的取值范圍為：．