Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥DC于點(diǎn)F，連接AP并延長，交射線BC于點(diǎn)H，交射線DC于點(diǎn)M，連接EF交AH于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)P在BD上運(yùn)動時(shí)（不包括B、D兩點(diǎn)），以下結(jié)論：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PMPH； ④EF的最小值是．其中正確的是________．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①可用特殊值法證明，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，可見.

②可連接，交于點(diǎn)，先根據(jù)證明，得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，故，又因?yàn)?/span>，故，故.

③先證明，得到，再根據(jù)，得到，代換可得.

④根據(jù)，可知當(dāng)取最小值時(shí)，也取最小值，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離也就是垂線段最短可得，當(dāng)時(shí)，取最小值，再通過計(jì)算可得.

解：

①錯(cuò)誤.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，可見；

②正確.

如圖，連接，交于點(diǎn)，

，

，，，

四邊形為矩形，

，

，

，

，

，

，

.

③正確.

，

，

，

，

，

又，

，

，

，

，

.

④正確.

且四邊形為矩形，

，

當(dāng)時(shí)，取最小值，

此時(shí)，

故的最小值為.

故答案為：②③④.