Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在邊AB上，以點A為圓心，線段AD的長為半徑的⊙A與邊AC相交于點E，AF⊥DE，垂足為點F，AF的延長線與邊BC相交于點G，聯(lián)結(jié)GE．已知DE=10，，．求：
（1）⊙A的半徑AD的長；
（2）∠EGC的余切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由在⊙A中，AF⊥DE，DE=10，由垂徑定理可求得DF的長，又由cos∠DAF==，利用勾股定理即可求得AD的長；
（2）由AB=AC，AD=AE，易證得△ADE∽△ABC，∠AGC=∠FEG，然后由相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，求得FG的長，繼而求得∠EGC的余切值．
解答：解：（1）在⊙A中，
∵AF⊥DE，DE=10，
∴DF=EF=DE=×10=5． …（1分）
在Rt△ADF中，由cos∠DAF==，
設(shè)AF=12k，AD=13k．…（1分）
利用勾股定理，得AF²+DF²=AD²．
∴（12k）²+5²=（13k）²．
解得：k=1．…（1分）
∴AD=13． …（1分）

（2）由（1），可知F=12k=12．…（1分）
∵=，
∴=．…（1分）
在⊙A中，AD=AE．
又∵AB=AC，
∴．
∴DE∥BC．…（1分）
∴△ADE∽△ABC，∠AGC=∠FEG，
∵AF⊥DE，
∴AG⊥BC，
∴=．
∴AG=36．
∴AF=12，
∴FG=AG-AF=24．…（1分）
在Rt△EFG中，cot∠FEG==．…（1分）
即得cot∠EGC=．…（1分）
點評：此題考查了垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．