Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點(diǎn)（2，6），且與直線y=x+1相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若P是直線AB上方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，求線段PE的最大值；

（3）在（2）的條件，設(shè)PC與AB相交于點(diǎn)Q，當(dāng)線段PC與BE相互平分時(shí)，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+1；（2）當(dāng)x=2時(shí)，PE的最大值為4；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（，）．

【解析】

（1）利用直線解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出PE的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得PE的最大值；

（3）由條件可知四邊形BCEP為平行四邊形，可得BC=PE，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）∵BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（4，0），且點(diǎn)B在直線y=x+1上，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），

∴拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點(diǎn)（2，6）和點(diǎn)B（4，3），

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x+1；

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x2+x+1），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（x，x+1），

∵PD⊥x軸于點(diǎn)D，且點(diǎn)P在x軸上，

∴PE=PD-ED=-x2+x+1-（x+1）=-x2+4x=-（x-2）2+4，

∴當(dāng)x=2時(shí)，PE的最大值為4；

（3）∵PC與BE互相平分，

∴四邊形BCEP為平行四邊形，

∴PE=BC，

∴-x2+4x=3即x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∵點(diǎn)Q分別是PC，BE的中點(diǎn)，且點(diǎn)Q在直線y=x+1

∴①當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），

②當(dāng)x=3時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），

綜上可知點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（，）．