Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，兩個動點(diǎn)P，Q同時從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿AC運(yùn)動，點(diǎn)Q沿AB，BC運(yùn)動，兩點(diǎn)同時到達(dá)點(diǎn)C．
（1）點(diǎn)Q的速度是點(diǎn)P速度的多少倍？
（2）設(shè)AP=x，△APQ的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍，
（3）求出y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，由此可以利用勾股定理求出BC，AC的長度，又兩個動點(diǎn)P，Q同時從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿AC運(yùn)動，點(diǎn)Q沿AB，BC運(yùn)動，兩點(diǎn)同時到達(dá)點(diǎn)C，利用這個條件即可求解；
（2）有兩種情況：①當(dāng)Q在AB上，利用（1）的結(jié)論和三角形的面積公式即可求解；②當(dāng)Q在BC上，利用（1）的結(jié)論求出BQ，CQ的長度，也就可以求出Q到AB的距離，再利用三角形的面積公式即可求解；
（3）利用（2）的結(jié)論和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
解答：解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，
∴BC=2，AC=，
而兩個動點(diǎn)P，Q同時從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿AC運(yùn)動，點(diǎn)Q沿AB，BC運(yùn)動，兩點(diǎn)同時到達(dá)點(diǎn)C
∴Q的速度是P的速度的（2+1）÷=倍；
 
（2）∵設(shè)AP=x，△APQ的面積是y，
①當(dāng)Q在AB上，

即時，，
②當(dāng)Q在BC上，

即時，，
即：；

（3）對于（）
當(dāng)時，
對于（ ≤x≤）
當(dāng)時，，
∵，
∴當(dāng)時，．
點(diǎn)評：此題這樣考查了二次函數(shù)的最值和勾股定理的應(yīng)用，解題時首先利用勾股定理求出相關(guān)線段的長度，然后利用幾何圖形的性質(zhì)求出函數(shù)解析式，最后利用函數(shù)的最值即可解決問題．