Question

已知：Rt△ABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個直角三角形放置在平面直角坐標系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA＜OB），直角頂點C落在y軸正半軸上，點D的坐標為（2，0）．
（1）填空：線段OA的長度為______，OB的長度為______，經過點A、B、C的拋物線的關系式為______；
（2）點P（m，n）是該拋物線上的一個動點（其中m＞0，n＞0），連接DP交BC于點E，當△BDE是等腰三角形時，請直接寫出此時點E的坐標．
（3）連接CD、CP，△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時點P的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由Rt△ABC中，CO⊥AB可證△AOC∽△COB，由相似比得OC²=OA•OB，設OA的長為x，則OB=5-x，代入可求OA，OB的長，確定A，B，C三點坐標，求拋物線解析式；
（2）根據△BDE為等腰三角形，分為DE=EB，EB=BD，DE=BD三種情況，分別求E點坐標；
（3）將求△CDP的面積問題轉化，如圖4，連接OP，根據S_△CDP=S_{四邊形CODP}-S_△COD=S_△COP+S_△ODP-S_△COD，表示△CDP的面積；再利用二次函數的性質求出△CDP的最大面積和此時點P的坐標．
解答：（1）解：設OA的長為x，則OB=5-x；
∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=OA•OB
∴2²=x（5-x），
解得：x₁=1，x₂=4，
∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4；
∴點A、B、C的坐標分別是：A（-1，0），B（4，0），C（0，2）；
方法一：設經過點A、B、C的拋物線的關系式為：y=ax²+bx+2，
將A、B、C三點的坐標代入得：

解得：，
所以這個二次函數的表達式為：y=-x²+x+2，
方法二：設過點A、B、C的拋物線的關系式為：y=a（x+1）（x-4），
將C點的坐標代入得：a=-，
所以這個二次函數的表達式為：y=-x²+x+2，
故答案為：1，4，y=-x²+x+2；

（2）解：如圖1，當DE=EB時，過點E作EF⊥BD于點F，
∵BO=4，OD=2，∴BD=2，
∵DE=BE，EF⊥BD，
∴DF=FB=BD=1，
∴OF=OD+DF=3，
∵EF⊥BO，CO⊥BO，
∴EF∥CO，
∴△COB∽△EFB，
∴=，
∴=，
∴EF=，
故E點坐標為：（3，），
如圖2，當EB=BD時，過點E作EM⊥BO于點M，
∵CO=2，BO=4，
∴BC=2，
∵點D的坐標為（2，0），
∴BD=BE=4-2=2，
∵EM∥CO，
∴△COB∽△EMB，
∴=，
∴=，
∴EM=，
∵==，
∴BM=，
∴MO=4-，
∴故E點坐標為：（4-，），
如圖3，當DE=BD時，過點E作EN⊥BO于點N，
設E點橫坐標為x，則ND=2-x，故BN=4-x，
∵=，
∴EN=（4-x），
∴在Rt△END中，
EN²+ND²=ED²，
即[（4-x）]²+（2-x）²=2²，
解得：x=，
∴EN=（4-x）=，
故點E的坐標是：（，），
故當△BDE是等腰三角形時，點E的坐標分別是：（3，），（，），（4-，）．

（3）解：如圖4，連接OP，
∵P點坐標為：（m，n），
∴P到CO距離為m，P到x軸距離為n，
S_△CDP=S_{四邊形CODP}-S_△COD=S_△COP+S_△ODP-S_△COD，
=×2m+×2n-×2×2=m+n-2
=-m²+m，
=-（m-）²+，
∴當m=時，n=，此時△CDP的面積最大．此時P點的坐標為（，），
S_△CDP的最大值是．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據直角三角形中斜邊上的高分得的兩個三角形相似，以及根據等腰三角形的性質求E點坐標，利用作輔助線的方法表示△CDP的面積，由二次函數的性質求三角形面積的最大值．