Question

關于x的一元二次方程（k-2）x²-2（k-1）x+k+1=0有兩個不同的實數根是x_l和x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）當k=-2時，求4x₁²+6x₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到k-2≠0且△=4（k-1）²-4（k-2）（k+1）＞0，然后解兩個不等式得到它們的公共部分即可；
（2）先把k=-2代入原方程得到4x²-6x+1=0，根據根與系數的關系得x_l+x₂=，x_l•x₂=，由于x_l是原方程的解，則4x₁²-6x₁+1=0，即4x₁²=6x₁-1，所以4x₁²+6x₂=6x₁-1+6x₂=6（x₁+x₂）-1，然后利用整體思想計算即可．
解答：解：（1）根據題意得k-2≠0且△=4（k-1）²-4（k-2）（k+1）＞0，
解得k＜3且k≠0；
（2）當k=-2時，方程變形為4x²-6x+1=0，則x_l+x₂=，x_l•x₂=，
∵x_l是原方程的解，
∴4x₁²-6x₁+1=0，
∴4x₁²=6x₁-1，
∴4x₁²+6x₂=6x₁-1+6x₂=6（x₁+x₂）-1=6×-1=8．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的定義和根與系數的關系．