Question

已知a，b是互質的正整數，且a+b，3a，a+4b恰為一直角三角形的三條邊長，則a+b的值等于

8或24

Answer 1

分析：a、b均為正數，則a+4b＞a+b，所以只有a+4b和3a有可能成為斜邊，分類討論（1）a+4b為斜邊；（2）3a為斜邊．

解答：解：在直角三角形中，（1）若a+4b為斜邊，則（a+4b）²=（a+b）²+9a²
∴9a²-6ab-15b²=0，（a+b）（3a-5b）=0
∵a+b≠0，且a，b互質，
∴a=5，b=3．
三條邊長分別為8，15，17，a+b=8．
（2）若3a為斜邊，則9a²=（a+b）²+（a+4b）²，
∴7a²-10ab-17b²=0，
∴（a+b）（7a-17b）=0
．∵a+b≠0，
∴7a=17b，a，b互質，
∴a=17，b=7．三條邊長分別為24，45，51，a+b=24．綜上得a+b=8．或a+b=24．

點評：本題考查了分類討論思想，考查了直角三角形中勾股定理的應用，本題中討論a+4b是斜邊或3a是斜邊是解題的關鍵．