Question

【題目】探究：

（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=，請直接寫出BE、DF與EF之間的數量關系；

（2）如圖2，若把（1）問中的條件變為“四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=，E、F分別是邊BC、CD上的點，且，則（1）中的結論是否仍然成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由；

（3）在（2）問中，若將△AEF繞點A逆時針旋轉，當點E、F分別運動到BC、CD延長線上時，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問中的結論是否發生變化？若變化，請寫出結論并證明，若不變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE+DF=EF；（2）成立，證明見解析；（3）BE—DF=EF，證明見解析

【解析】

(1)將△ADF繞點A順時針旋轉,使AD與AB重合,得到△ABF,然后求出∠EAF=∠EAF=45°,利用“邊角邊”證明△AEF和△AEF′全等,根據全等三角形對應邊相等可得EF=EF′,從而得解;
(2)將△ADF繞點A順時針旋轉,使AD與AB重合,得到△ABF′,根據旋轉變換的性質可得△ADF和△ABF′全等,根據全等三角形對應角相等可得∠BAF′=∠DAF,對應邊相等可得AF′=AF,BF′=DF,對應角相等可得∠ABF′=∠D,再根據∠EAF=∠BAD證明∠EAF′=∠EAF,并證明E、B、F′三點共線,然后利用“邊角邊”證明△AEF和△AEF′全等,根據全等三角形對應邊相等可得EF′=EF,從而得解;
(3)將△ADF繞點A順時針旋轉,使AD與AB重合,點F落在BC上點F′處,得到△ABF′,根據旋轉變換的性質可得△ADF和△ABF′全等,根據全等三角形對應角相等可得∠BAF′=∠DAF,對應邊相等可得AF′=AF,BF′=DF,再根據∠EAF=∠BAD證明∠F′AE=∠FAE,然后利用“邊角邊"證明△F′AE和△FAE全等,根據全等三角形對應邊相等可得EF=EF′,從而求出EF=BE-DE

(1)如圖1,將△ADF繞點A順時針旋轉,使AD與AB重合,得到△ABF′,
∵∠EAF=45°,
∴∠EAF′=∠EAF=45°,
在△AEF和△AEF′中,

∴△AEF≌△AEF′(SAS),
∴EF=EF′
又EF′=BE+BF′=BE+DF
∴EF=BE+DF

（2）結論EF=BE+DF仍然成立．

理由如下：如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得到△ABF′，
則△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′=∠DAF，AF′=AF，BF′=DF，∠ABF′=∠D，
又∵∠EAF=∠BAD，
∴∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAF′，
∴∠EAF=∠EAF′，
又∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABF′+∠ABE=180°，
∴F′、B、E三點共線，
在△AEF與△AEF′中，

∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF=EF′，
又∵EF′=BE+BF′，
∴EF=BE+DF；
（3）發生變化．EF、BE、DF之間的關系是EF=BE-DF．

理由如下：如圖3，將△ADF繞點A順時針旋轉，使AD與AB重合，點F落在BC上點F′處，得到△ABF′，
∴△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′=∠DAF，AF′=AF，BF′=DF，
又∵∠EAF=∠BAD，且∠BAF′=∠DAF，
∴∠F′AE=∠BAD-（∠BAF′+∠EAD）=∠BAD-（∠DAF+∠EAD）=∠BAD-∠FAE=∠FAE，
即∠F′AE=∠FAE，
在△F′AE與△FAE中，

∴△F′AE≌△FAE（SAS），
∴EF=EF′，
又∵BE=BF′+EF′，
∴EF′=BE-BF′，
即EF=BE-DF．