Question

【題目】如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉90°后得到△COD．

（1）點C的坐標是　 　，線段AD的長等于　 　；

（2）點M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x2+bx+c經過點G，M，求拋物線的解析式；

（3）如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點P，使得以C，E，F，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長l；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）（0，3）；4；（2）；（3）拋物線上存在點P，使得以C，E，F，P為頂點的四邊形是菱形．

【解析】

（1）首先求出圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B的坐標，進而得出C點坐標以及線段AD的長；

（2）首先得出點M是CD的中點，即可得出M點坐標，進而利用待定系數法求二次函數解析式；

（3）分別根據當點F在點C的左邊時以及當點F在點C的右邊時，分析四邊形CFPE為菱形得出即可．

（1）∵與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴y=0時，x=﹣3，x=0時，y=1．

∴A點坐標為：（﹣3，0），B點坐標為：（0，1）．

∴OC=3，DO=1．

∴點C的坐標是（0，3），線段AD的長等于4．

（2）∵CM=OM，

∴∠OCM=∠COM．

∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，

∴∠ODM=∠MOD．

∴OM=MD=CM．

∴點M是CD的中點，

∴點M的坐標為（，）．

∵拋物線y=x2+bx+c經過點C，M，

∴，解得：．

∴拋物線y=x2+bx+c的解析式為：．

（3）情形1：如圖1，當點F在點C的左邊時，四邊形CFEP為菱形，

∴∠FCE=PCE．

由題意可知，OA=OC，

∴∠ACO=∠PCE=45°．

∴∠FCP=90°．

∴菱形CFEP為正方形．

過點P作PH⊥CE，垂足為H，

則Rt△CHP為等腰直角三角形．

∴CP=CH=PH．

設點P為（x，），則OH=，PH=x，

∵PH=CH=OC﹣OH，

∴，

解得：x1=， x2=0（舍去）．

∴CP=CH=．

∴菱形CFEP的周長l為：．

情形2：如圖2，當點F在點C的右邊時，四邊形CFPE為菱形，

∴CF=PF，CE∥FP．

∵直線AC過點A（﹣3，0），點C（0，3），

∴直線AC的解析式為：y=x+3．

過點C作CM⊥PF，垂足為M，

則Rt△CMF為等腰直角三角形，CM=FM．

延長PF交x軸于點N，則PN⊥x軸，

∴PF=FN﹣PN．

設點P為（x，），則點F為（x，x+3），

∴．

∴，

解得：，x2=0（舍去）．

∴．

∴菱形CFEP的周長l為：）．

綜上所述，這樣的菱形存在，它的周長為或．