Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（5，0）、C（0，5）三點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為D，求△BCD的面積；
（3）若在拋物線的對稱軸上有一個動點P，當(dāng)△OCP是腰長為5的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）知道三點在二次函數(shù)圖象上，聯(lián)立方程組解得a、b、c；
（2）首先求出拋物線頂點坐標(biāo)，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，求出k、b，由三角形BCD的面積=三角形BFD的面積+三角形BFC的面積，求得三角形BCD的面積；
（3）分四種情況：設(shè)對稱軸與x軸交于點E．
①當(dāng)OP=OC=5，且∠COP為銳角時，求出P點坐標(biāo)，
②當(dāng)OP=OC=5，且∠COP為鈍角時，求出P點坐標(biāo)，
③當(dāng)OC=CP=5，且∠OCP為銳角時，求出P點坐標(biāo)，
④當(dāng)OC=CP=5，且∠OCP為鈍角時，求出P點坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)題意，c=5．
∴

9a+3b+5=0 25a+5b+5=0

解得

a= 1 3 b=- 8 3

∴拋物線解析式為y=

1

3

x2-

8

3

x+5；（2分）

（2）y=

1

3

x2-

8

3

x+5=

1

3

(x2-8x+16)-

16

3

+5=

1

3

(x-4)2-

1

3

∴拋物線頂點D的坐標(biāo)為(4 ， -

1

3

)（3分）
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
則

b=5 4k+b=- 1 3 .

∴

k=- 4 3 b=5.

∴直線CD的解析式為y=-

4

3

x+5．
設(shè)直線CD與x軸交于點F，則F點坐標(biāo)為(

15

4

 ， 0)．
∴BF=5-

15

4

=

5

4

．
∴S△BCD=S△BFD+S△BFC=

1

2

×

5

4

×

1

3

+

1

2

×

5

4

×5=

10

3

．（4分）

（3）分四種情況：設(shè)對稱軸與x軸交于點E．
①當(dāng)OP=OC=5，且∠COP為銳角時，如圖1，

則有PE=

OP2-OE2

=

52-42

=3，
∴P點坐標(biāo)為（4，3）（5分）
②當(dāng)OP=OC=5，且∠COP為鈍角時，如圖2，

則有PE=

OP2-OE2

=

52-42

=3，
∴P點坐標(biāo)為（4，-3）．（6分）
③當(dāng)OC=CP=5，且∠OCP為銳角時，如圖3，

作PQ⊥y軸，垂足為Q，
則有CQ=

PC2-PQ2

=

52-42

=3，
∴OQ=OC-CQ=5-3=2．
∴P點坐標(biāo)為（4，2）（7分）
④當(dāng)OC=CP=5，且∠OCP為鈍角時，如圖4，

作PQ⊥y軸，垂足為Q，
則有CQ=

PC2-PQ2

=

52-42

=3，
∴OQ=OC+CQ=5+3=8．
∴P點坐標(biāo)為（4，8）（8分）
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（4，3）、（4，-3）、（4，2）或（4，8）．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，知道圖象上三點，就能求出拋物線解析式，會分類討論是解答本題關(guān)鍵所在．