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等邊三角形ABC的邊長為6,在ACBC邊上各取一點E,F,  連結AFBE相交于點P.

(1)若AE=CF.

①求證:AF=BE,并求∠APB的度數.

②若AE=2,試求的值.

(2)若AF=BE,當點E從點A運動到點C時,試求點P經過的路徑長.


(1)①如圖,∵△ABC是等邊三角形,

  ∴∠C=∠BAC=60°, AB=AC

又∵AE=CF

∴△AFC≌△BEA (SAS),

AE=CF,                         

∠1=∠3,

∵∠4=∠2+∠3,

∴∠4=∠2+∠1=∠BAC=60°,

即∠APB=180°-∠4=120°.               

② ∵  ∠C=∠4=60°,∠PAE=∠CAF,

   ∴  △APE∽△ACF,

   ∴,即,所以.  

(2)若AF=BE,有AE=BFAE=CF兩種情況.

AE=BF時,如圖2,此時點P經過的路徑是AB邊上的高線CH.

    在Rt△AHC中,

∴此時點P經過的路徑長為.

AE=CF時,如圖3,點P經過的路徑是以A,B為端點的        圓弧,且∠APB=120°,則圓心角∠AOB=120°,

 過點OOGAB, 在Rt△AOG中,∠AOG=60°,

.

∴此時點P經過的路徑長為.

所以,點P經過的路徑長為.           


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