Question

如圖，⊙O的直徑AB的長為10，直線EF經(jīng)過點B且∠CBF=∠CDB．連接AD．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）若點C是弧AB的中點，sin∠DAB=，求△CBD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由AB是⊙O的直徑可得出∠ADB=90°，再根據(jù)∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB即可得出∠ABF=90°，故EF是⊙O的切線；
（2）作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中，AB=10，sin∠DAB=可求出BD的長，再由C是弧AB的中點，可知∠ADC=∠CDB=45°，根據(jù)BG=DG=BDsin45°可求出BG的長，由∠DAB=∠DCB可得出CG的長，進而得出CD的長，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°即∠ADC+∠CDB=90°，
∵∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB，
∴∠ABC+∠CBF=90°即∠ABF=90°，
∴AB⊥EF
∴EF是⊙O的切線；

（2）解：作BG⊥CD，垂足是G，
在Rt△ABD中
∵AB=10，sin∠DAB=
又∵sin∠DAB=
∴BD=6
∵C是弧AB的中點，
∴∠ADC=∠CDB=45°，
∴BG=DG=BD×sin45°=6×=3，
∵∠DAB=∠DCB
∴tan∠DCB==，
∴CG=
∴CD=CG+DG=4+3=7，
∴S_△CBD=CD•BG==21．
點評：本題考查的是切線的判定定理，涉及到圓周角定理、解直角三角形及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．