Question

探究題：閱讀下面的內容，按要求完成題目：
已知方程①x²-1=0的兩根是x₁=1，x₂=-1；
方程②x²+x-2=0的兩根是x₁=1，x₂=-2；
方程③x²+2x-3=0的兩根是x₁=1，x₂=-3；
方程④x₂+3x-4=0的兩根是x₁=1，x₂=-4；
（1）請你用適當的方法求出方程⑤x²+4x-5=0的兩根；
（2）觀察上面幾個方程的根的特點，請直接寫出方程x²+2008x-2009=0的兩根是x₁=______，x₂=______，并用適當的方法驗證你的結果；
（3）請直接寫出關于x的方程x²+（n-1）x-n=0的兩根是x₁=______，x₂=______．

Answer 1

解：（1）∵x²+4x-5=0，
∴（x-1）（x+5）=0，
∴x₁=1，x₂=-5；

（2）x₁=1，x₂=-2009．
檢驗：∵當x₁=1時，左邊=1²+2008×1-2009=0=右邊，
當x₂=-2009時，左邊=（-2009）²+2008×（-2009）-2009=0=右邊，
∴x₁=1，x₂=-2009都是方程x²+2008x-2009=0的根；

（3）x₁=1，x₂=-n．
分析：（1）利用因式分解法解方程；
（2）觀察方程①至⑤的兩根，發現x₁=1，完全不變，x₂的值在變化，與每個方程中常數項的值相同．因而得出方程x²+2008x-2009=0的兩根是x₁=1不變，x₂與方程中的常數項-2009相同．根據方程的解的定義檢驗；
（3）將（2）的結論推廣，即得出本題結果．
點評：本題考查了解一元二次方程的方法及根據方程根的特點，歸納出具有相同特點的方程根的方法．
當把方程通過移項把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．
對于尋找規律的題目，要善于抓住已知式子中的不變量，找到變化的量，分析變化的規律，從而得出結果．