Question

【題目】已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90゜，點P在射線AC上，連接PB，將線段PB繞點B逆時針旋轉90゜得線段BN，AN交直線BC于M．

（1）如圖1．若點P與點C重合，則= ，= （直接寫出結果）：

（2）如圖2，若點P在線段AC上，求證：AP=2MC；

（3）如圖3，若點P在線段AC的延長線上，完成圖形，并直接寫出= ．

Answer 1

【答案】（1）1，；（2）見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）先求出∠C=∠CBN，再利用“角角邊”證明△ACM和△NBM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AM=MN，MC=MB，再求出AP=AC=2MC，然后求解即可；

（2）過點N作NE⊥BC于E，根據同角的余角相等求出∠PBC=∠BNE，然后利用“角角邊”證明△PBC和△BNE全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=PC，NE=BC，然后求出AP=CE，AC=NE，再利用“角角邊”證明△ACM和△NEM全等根據全等三角形對應邊相等可得MC=ME，整理即可得證；

（3）過點N作NE⊥BC交CB的延長線于E，然后與（2）的求解方法相同．

（1）解：∵線段PB繞點B逆時針旋轉90゜得線段BN，

∴∠CBN=90°，BC=BN，

∴∠C=∠CBN，AC=BN，

在△ACM和△NBM中，，

∴△ACM≌△NBM（AAS），

∴AM=MN，MC=MB，

∴AP=AC=BC=MC+MB=2MC，

∴=1，=；

（2）證明：如圖2，過點N作NE⊥BC于E，

∴∠BNE+∠CBN=90°，

∵線段PB繞點B逆時針旋轉90゜得線段BN，

∴∠PBC+∠CBN=90°，

∴∠PBC=∠BNE，

在△PBC和△BNE中，，

∴△PBC≌△BNE（AAS），

∴BE=PC，NE=BC，

∴AP=AC﹣PC=BC﹣BE=CE，AC=NE，

在△ACM和△NEM中，，

∴△ACM≌△NEM（AAS），

∴MC=ME，

∴CE=2MC，

∴AP=2MC；

（3）解：如圖3，過點N作NE⊥BC交CB的延長線于E，過點N作NE⊥BC于E，

∴∠BNE+∠CBN=90°，

∵線段PB繞點B逆時針旋轉90゜得線段BN，

∴∠PBC+∠CBN=90°，

∴∠PBC=∠BNE，

在△PBC和△BNE中，，

∴△PBC≌△BNE（AAS），

∴BE=PC，NE=BC，

∴AP=AC﹣PC=BC﹣BE=CE，AC=NE，

在△ACM和△NEM中，，

∴△ACM≌△NEM（AAS），

∴MC=ME，

∵AP=AC+PC，

CE=BC+BE=2MC，

∴AP=CE=2MC，

∴=．

故答案為：（1）1，；（3）．