Question

如圖，∠BAC=90°，AC=AB，直線l與以AB為直徑的圓相切于點B，點E是圓上異于A、B的任意一點．直線AE與l相交于點D．
（1）如果AD=10，BD=6，求DE的長；
（2）連接CE，過E作CE的垂線交直線AB于F．當點E在什么位置時，相應的F位于線段AB上、位于BA的延長線上、位于AB的延長線上（寫出結果，不要求證明）．無論點E如何變化，總有BD=BF．請你就上述三種情況任選一種說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于DB是圓的切線，因此根據切割線定理得出的DB²=DE•DA即可求出DE的長；
（2）①設M是上半圓的中點，連接BC，AM，由于AB=AC，且∠CAB=90°，BC必過M點，連接AM則AM⊥BC，因此當E在BM弧上時，F在直徑AB上．當E在AM弧上時，F在BA的延長線上．當E在下半圓時，F在AB的延長線上．
②本題可通過相似三角形來求解，由于∠CEA和∠FEB同是∠AEF的余角，因此這兩角相等，根據弦切角定理可知：∠CAE=∠B，由此可得出，△CAE∽△FBE，同理可得出Rt△DBE∽Rt△BAE，那么

BE

AE

=

DB

AB

=

BF

AC

，已知AC=AB，因此BD=BF．

解答：解：如圖
（1）∵BD是切線，DA是割線BD=6，AD=10
∴DB²=DE•DA
∴DE=

DB2

DA

=

36

10

=3.6；

（2）設M是上半圓的中點，當E在BM弧上時，F在直徑AB上
當E在AM弧上時，F在BA的延長線上，當E在下半圓時，F在AB的延長線上
連接BE
∵AB是直徑，AC、BD是切線，∠CEF=90°
∴∠AEB=90°，∠CAE=∠FBE，∠DBE=∠BAE
∵∠CEA=90°-∠AEF
∠FEB=90°-∠AEF
∴∠CEA=∠FEB
∴Rt△DBE∽Rt△BAE，△CAE∽△FBE
∴

DB

BA

=

BE

AE

，

BF

AC

=

BE

AE

∵AC=AB
∴BD=BF．

點評：本題主要考查了切線的性質、切割線定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質等知識點．