Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為8，M是AB的中點，P是BC邊上的動點，連結PM，以點P為圓心，PM長為半徑作⊙P．

（1）當BP＝　 　時，△MBP～△DCP；

（2）當⊙P與正方形ABCD的邊相切時，求BP的長；

（3）設⊙P的半徑為x，請直接寫出正方形ABCD中恰好有兩個頂點在圓內的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3或；（3）

【解析】

（1）設BP=a，則PC=8-a，由△MBP～△DCP知，代入計算可得；

（2）分別求出⊙P與邊CD相切時和⊙P與邊AD相切時BP的長即可得；

（3）①當PM=5時，⊙P經過點M，點C；②當⊙P經過點M、點D時，由PC2+DC2=BM2+PB2，可求得BP=7，繼而知．據此可得答案．

（1）設BP=a，則PC=8-a，

∵AB=8，M是AB中點，

∴AM=BM=4，

∵△MBP～△DCP，

∴，即，

解得，

故答案為：．

（2）如圖1，當⊙P與邊CD相切時，

設PC=PM=x，

在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，

∴x2=42+（8-x）2，

∴x=5，

∴PC=5，BP=BC-PC=8-5=3．

如圖2，當⊙P與邊AD相切時，

設切點為K，連接PK，

則PK⊥AD，四邊形PKDC是矩形．

∴PM=PK=CD=2BM，

∴BM=4，PM=8，

在Rt△PBM中，．

綜上所述，BP的長為3或．

（3）如圖1，當PM=5時，⊙P經過點M，點C；

如圖3，當⊙P經過點M、點D時，

∵PC2+DC2=BM2+PB2，

∴42+BP2=（8-BP）2+82，

∴BP=7，

∴．

綜上，．